创新设计浙江专用学年高中数学第二章基本初等函数I2.3幂函数课件新人教版必修1110402100

发布于:2021-06-11 04:14:01

2.3 幂函数 目标定位 1.通过实例了解幂函数的概念.2.掌握幂函 数 y=x,y=x2,y=x3, y=x ,y=x2的图象和性质.3.了解它们的变化情况. -1 1 自 主 预 * 1.幂函数的概念 y=xα 叫做幂函数,其中x是________ 自变量 ,α是常数. 一般地,函数______ 温馨提示:记住幂函数的解析式的结构特征:幂函数的底数 x 是变量,指数α是常数,xα前面的系数为1. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 图象 定义域 值域 R __ R R __ [0,+∞) _________ 偶函数 ________ R __ R __ 奇函数 {x|x≠0} [0,+∞) _________ _________ [0,+∞) __________ {y|y≠0} _________ 非奇非偶 ________ 函数 _____ 奇函数 ________ 奇函数 奇偶性 _______ 在[0,+∞) 单调性 在(0,+∞) 增函数 , 在R上是 在[0,+∞) 是________ 减函数 , 在R上是 是_______ 增函数 上是增函数 在(-∞,0) 增函数 在(-∞,0] _______ _______ 减函数 减函数 是________ 是_______ (1,1) 公共点 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x0(x≠0)是幂函数.( ) ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( (3)幂函数的图象都不过第二、四象限.( 答案 (1)√ (2)× (3)× ) 2.下列函数中不是幂函数的是( A.y= x C.y=2x 解析 1 ) B.y=x3 D.y=x -1 对于 A,y= x=x2,由幂函数的定义可 知 A 是幂函数,且 B,D 中的函数也是幂函数. 答案 C 3.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是( A.y=x3 1 ) B.y=x 1 -2 C.y=x 4 D.y=x2 1 解析 函数 y=x3,y=x2在各自定义域上不是 1 偶函数,y=x-2 的图象不过点(0,0).选 C. 答案 C 4.幂函数f(x)=xα的图象过点(3,9),那么函数f(x)的单调增区间 是________. 解析 由题意得9=3α, 所以32=3α,所以f(x)=x2. 所以幂函数f(x)=x2的单调增区间是[0,+∞). 答案 [0,+∞) 类型一 幂函数的概念 【例 1 】 函数 f(x) = (m2 - m - 1)xm2 + m - 3 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得, m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数, 当 m=-1 时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是减函数, - 不合要求.∴f(x)的解析式为 f(x)=x3. 规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而 找不出“m2-m-1=1”这一等量关系,导致解题受阻. 2.幂函数 y=xα(α∈R)中,α为常数,系数为 1,底数 为单一的 x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据 和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异, 解 题时一定要分清,以防出错. 【训练 1】 (1)下列几个函数中,为幂函数的是________. 2 ①y=4 ,②y= x ,③y=-x2,④y=x . x 3 2 1 (2)幂函数 y=(m2-m-1)x-m 在 x∈(0, +∞)上为减函数, 则 m 的值为________. 2 解析 (1)因为 y= x =x3 3 2 根据幂函数的结构特征, 只有②是幂函数, 其它都不是幂函数. (2)由 m2-m-1=1,得 m=2 或 m=-1. 又当 m=2 时,y=x 2 在 x∈(0,+∞)上为减函数; - 当 m=-1 时,y=x 在 x∈(0,+∞)上为增函数,舍去. ∴m=2. 答案 (1)② (2)2 类型二 幂函数的图象 【例2】 已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x,y轴都无交点,且 关于y轴对称,求m的值,并画出它的图象. 解 ∵图象与 x,y 轴都无交点,∴m-2≤0,即 m≤2. 又 m∈N,∴m=0,1,2.∵幂函数图象关于 y 轴对称,∴m=0 或 m=2.当 m=0 时,函数为 y=x-2,图象如图 1 所示. 当 m=2 时,函数为 y=x0=1(x≠0),图象如图 2 所示. 规律方法 1.幂函数 y=x 的图象恒过定点(1,1),且不 α 过第四象限. 2.解决幂函数图象问题,需把握两个原则:(1)幂指数 α 的正负决定函数图象在第一象限的升降; (2)依据图象确 定幂指数 α 与 0,1 的大小.在第一象限内,直线 x=1 的右侧,y=x 的图象由上到下,指数 α 由大变小;在 第一象限内, 直线 x=1 的左侧, y=x 的图象由上到下, 指数 α 由小变大. α α 【训练 2 】 如图是幂函数 y = xm与 y = xn 在第一象限内的图象, 则( ) A.-1<n<0<m<1 C.-1<n<0,m>1 B.n<-1,0<m<1 D.n<-1,m>1 解析 在 (0 , 1) 内取同一值 x0 ,作直线 x = x0 ,与各图象有交 点,如图所示.根据点低指数大,有0<m<1,n<-1. 答案 B 类型三 幂函数的性质及其应用(互动探究) 【例 3】 已知幂函数 y=f(x)的图象过点 (1)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)讨论函数 y=f(x)的单调性. ?1 ? P?2,4?. ? ? [思路探究]

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