关于谐振子的量子力学研究进展_论文

发布于:2021-06-11 03:55:31

20 0 8年 1 月  1 榆 林 学 院 学 报  J OURNAL  YUUN  OF  COU正 GE  第 1卷 8 第 6期  NO . o 8 V2 0  V0. 8 No 6 11   .   关 于 谐 振子 的量 子 力学 研 究进 展  蔡春 芳L   ( . 中职业技 术 学院 , 1汉 陕西 汉 中 730 ;. 200 2 陕西 师范大 学 , 西 西安 706 ) 陕 10 2  摘 要: 线性谐振子是描述物质微观运动特性的基本数学模型, 也是量子力学 中一个可 以精确求解的   能量 本征 值 问题 。综述 了*年 来有关谐 振子 的本征值 、 本征 函数 、 向坐标算符 矩 阵元 及期 望值 的快速  径 计算及 其应 用的 最新进 展 , 图展 示谐 振子 问题 快速 求解 的物理 学思 想方法及计 算技 巧。 试   关键词: 量子力学; 谐振子 ; 本征值 ; 本征 函数 ; 向矩阵元 ; 径 不确定关系   中图分类号 : 4 3 1 文 献标识 码 : 文章编 号 :0 8— 8 1 20 ) 6- 0 8— 4 O 1 .  A 10 3 7 ( 0 8 0 0 4 0   在 自然界 中我们 可 以广 泛接触 到简 谐运 动 , 任何 在* 衡位 置 附* 的小振 动 , 如分 子 的振 动 、 例 品格 的振  动、 原子核表面振动以及辐射场的振动等, 在选择适当的坐标系后 , 常常可以将高维复杂运动*似地分解成  多 个彼此相对 独立 的简谐振 动 。因此 , 振子 运动 模 式是 研究 物 质 复杂 运动 的“ 器 ” 对谐 振 子 的研究 无  谐 武 , 论 在理论分析 上还是 在应用 实践 中都很 重要 。线性 谐振子 在物理 学 中是 一个很 重要 的模型 , 子统计 、 子  量 原 物理、 核物理及分子光谱等诸多学科中许多问题的解决都归结于谐振子问题 的求解。   1 一维谐 振子  线性 谐振子模 型是 量子力学 中一个 可 以精确求 解 的重要 问题 之一 , 年来人 们 对 线性 谐振 子进 行 了深  多 入 的研究 , 获得众 多 的理论 成果 和应用 成果 。*年来 , 又发 现线 性谐振 子模型 可 以很好 地用 于原子 核 的壳 层  结 构模型研究 。   20 0 3年周青 春等 ¨ 为 了避免 对不 同 问题 引进 不 同 的解 法 ,   对标 准 连 带 Lger aur e方程 作 适 当变 换 , 到  得 了一个统 一的解法 , 求得 了一维 谐振子 u x T)  2的本征 波 函数  ( )=I   / Ix O f     (一 x) N/( x ) c ep     L/:     - 2 N为偶数 ,   1。 一 L 一/’)N奇, 、     ) 1(   为数   p 二 I ) : c (’ ( 2I   I  l     及三 维谐 振子 u( )=M   2的径 向波 函数  x er / R()=C1 e p   r) r . Ix (一 r    l I   ( r)     。 。  l l 这一 方法 的特 点是将 能量本 征值 问题相 应 的一 类二 阶变 系数齐次 常微分 方程 的变 换为标 准连 带勒让 得  方 程统一 加 以求解 , 是传统 的洛 朗级数 解法 。   对于 量子力学 中最基 本模 型的一 维谐振 子 的求 解 , 多 时候会 遇 到谐 振子 系统 的哈密 顿 量 中有坐 标 和  很 动量耦合项的情形 , 0 年蒋继建等  对最一般的双藕合玻色谐振子(   , 为坐标和动量耦合强度) 2 5 0 其中 v   H   ( +;+ (2 + ; ) L x+p : 密顿量变 : P P ÷mcx ∞ ; 一x  vP,   ) o  x 。     将哈 换到占 有数表 再通过幺 象, 正变换   退耦对角化, 简捷地求出了能量本征值  E  .n = A n + 2 2 D + ( : W) 1 1 A n+   寺  W +  。       20 0 6年石 国芳 口处 理 了一 种最 一般情 形 的谐 振子 H=a        q   P ,     +pP + P+ q 首先利 用辛 变换将 能量  q 算 符化 为标准 二次型 H=Q +p =0 2a +1 ,     (  a )  收 稿 日期 :0 8—0 0   20 6— 6 作者简介 : 蔡春芳( 9 7 , , 17 一) 女 陕西岐山人 , 讲师 , 在读研 究生 , 研究方向为量子力学。E— a : q 88 o .Ol m i e 8 8 @t ner ld r l   蔡春芳 : 于谐振子的量子力学研究进展  关 ?4 ? 9   其中 a 和 a Q √ ,/ Q   是 / ep 、 的产生算子和湮灭算子 , / 进而变换到占有数表象 , 出波 函数为 < /,>= 求 qq 。   [( + ] xqe(a+1)/a+ ) l>  f> 吾a  ) p  +a篮a1)(2a ]l :   , 。 2  e[(   12 21   ,    ai 2 l , 。  能 级为 ,  0 n+1 , O,,,   E =2 ( )n= 12 …。 文献 [ 3 主要用到将能量算符退耦对角化 和占有数表象方法 , 2— ] 这一方法求能级和波 函数都 比较简  洁。   半空间谐振子是严格可解的简单量子力学体 系之一 , 这一简单体系不仅具有理论上的重要价值 , 还具有  实际的意义,04 20 年彭妮等[ ] 4 讨论了半空间谐振子 的基本量子力学内容 。半空间中的谐振子的定态波函   数为 m x = mx [   ( ) N ep 一 ]  +( ) ( o , Hm   ,x )  其 N= 中m   x 

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